Công thức lượng giác

[Ron]

Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số.

Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ trong việc tính tích phân với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính.

Các hàm lượng giác:

http://upload.wikimedia.org/math/2/c/3/2c364ad9484a8aa98d84cd066c015032.png
http://upload.wikimedia.org/math/f/7/5/f7555a262cbf5a97a810d4ca9ec676d2.png

Tuần hoàn:

http://upload.wikimedia.org/math/a/d/e/ade60bebb32ce18853dde18bea8788c2.png

http://upload.wikimedia.org/math/c/4/b/c4b61d5490af84f1b096b5a647f4b132.png

http://upload.wikimedia.org/math/8/1/7/8179dd0a71db0793f02c4d481486d467.png

Đối xứng:

http://upload.wikimedia.org/math/e/2/3/e23fa842b23102e20a11a61a7a1b962e.png

http://upload.wikimedia.org/math/5/0/1/5012904c75a6f2c44aaf1d0308f63fda.png

http://upload.wikimedia.org/math/1/2/7/127650e424ff1c0a55750cfa81a70e61.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/9/2/d92ac069c6b11dcc6328f638c1c5a613.png

Tịnh tiến:

http://upload.wikimedia.org/math/1/1/6/116ebb88d0e49cde0ab76ae24a129788.png

http://upload.wikimedia.org/math/5/c/b/5cb1fa1fd052dabe72d3be25882891d4.png

http://upload.wikimedia.org/math/e/f/9/ef99de492a256c296e25d554b06d4928.png

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

http://upload.wikimedia.org/math/b/2/3/b23b076defb7225db5ddd5682263d88c.png
với
http://upload.wikimedia.org/math/3/4/1/3419edec72040aa60e2f4a06e21b6ff7.png

Đẳng thức Pytago

http://upload.wikimedia.org/math/2/1/0/21010ba21c3a658c1bebe44ec023322e.png

http://upload.wikimedia.org/math/8/0/b/80b2e731371b16456f9896a3acc6486a.png

http://upload.wikimedia.org/math/3/7/2/3720f8d94ba670f815511b964e8ca39b.png

Tổng của hiệu và góc:

http://upload.wikimedia.org/math/9/6/1/96188065d4eefcdb83c5b7365f96eaa4.png

http://upload.wikimedia.org/math/6/6/4/664f8e8310a75a6d41e5e856d9e68c2d.png

http://upload.wikimedia.org/math/8/1/c/81cacd83df440beb2ec3c30095e93308.png

Công thức góc bội

Bội hai
http://upload.wikimedia.org/math/f/e/6/fe6cc975b1dfa6a6eb138084efbbc27c.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/4/7/d47d2157e706c5f9babc8395f47f0553.png

http://upload.wikimedia.org/math/7/f/6/7f643709c0d69e839822f3749fc95083.png

Bội ba
sin(3x) = 3sin(x) − 4sin3(x)
cos(3x) = 4cos3(x) − 3cos(x)

Công thức hạ bậc

http://upload.wikimedia.org/math/8/b/b/8bbde03904651d44e07ab31fcab6f347.png

http://upload.wikimedia.org/math/9/0/7/907b46531052621b3506c52611b08040.png

http://upload.wikimedia.org/math/b/1/f/b1f41f40bc24aadf72d79111a9dd67e1.png

http://upload.wikimedia.org/math/4/c/2/4c2c449379255a8b71c354c3f857d7e1.png

http://upload.wikimedia.org/math/4/8/4/484d6cae87865dad7b188fb25b10bd76.png

http://upload.wikimedia.org/math/3/7/b/37b0ba6be2c6e6a85e34f3b31a854885.png

Công thức góc chia đôi:

Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:

http://upload.wikimedia.org/math/6/f/b/6fb0bcb5dae69c63766b1bcbc287d643.png

http://upload.wikimedia.org/math/c/d/4/cd425bbc22429e4c520b81abe6cb4c6e.png

Dẫn đến:

http://upload.wikimedia.org/math/8/c/9/8c9b1adbd2afab0ffb4cdc1c475326f0.png

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

http://upload.wikimedia.org/math/2/9/8/2982e078e21bc8ad1afb19480a1e7485.png

http://upload.wikimedia.org/math/2/8/1/28162ee4817001cc3f4045cf90cee949.png

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

http://upload.wikimedia.org/math/4/6/2/462c5f8b96c299629047cc6e59b83faa.png

http://upload.wikimedia.org/math/a/c/7/ac77560f4f55a15eaa139b5bb60037da.png

Suy ra:

http://upload.wikimedia.org/math/7/f/b/7fb090113e3c99b6c4cbd80972979255.png

Nếu:

http://upload.wikimedia.org/math/6/3/6/63688bbdcf691370a622c90fa5ff9483.png

thì:
http://upload.wikimedia.org/math/b/2/a/b2a63ea30b3ba68ea07b4b1076c1639d.png và http://upload.wikimedia.org/math/c/7/c/c7c46de9e797429e996c5f44949d5d46.png

Biến tích thành tổng:

http://upload.wikimedia.org/math/0/0/7/007edc9607631d730f9b30132e99a1b7.png

http://upload.wikimedia.org/math/8/8/1/8818ace904626998a66cadf0f0a7396f.png

http://upload.wikimedia.org/math/c/3/2/c3254b31d1adba7d7b5d8c7a2fad54df.png

http://upload.wikimedia.org/math/6/6/3/6637338e03dd995084fe65e41e5109f2.png

Biển tổng thành tích:

Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:

http://upload.wikimedia.org/math/f/1/f/f1febb04037fe1c4436c42aa379455f1.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/5/1/d51e35bc031c4ed60bff6b3f2d786075.png

http://upload.wikimedia.org/math/4/3/0/430e4d24e25784069ab245a32a7f9561.png

http://upload.wikimedia.org/math/a/5/b/a5bb9a21fe6ccf7e3c4a3e2ac61ebea2.png

Các bạn cũng có thể tham khảo hình dưới

[Lucifer's]

http://hundken1412.googlepages.com/5.jpg
http://hundken1412.googlepages.com/6.jpg
http://hundken1412.googlepages.com/7.jpg
http://hundken1412.googlepages.com/8-2.jpg

Download (http://tinypaste.com/80cac)

[kdmajjucld]

hj, mình có một bài lượng giác muốn nhờ các bạn giải giúp?
đề bài là:
2cos3x + cos2x + sinx = 0

cô giáo có hướng dẫn t là dùg công thức tách gốc
cos3x = cos(2x+x)

magic: nhớ ghi bài có dấu nha bạn....

[magic]

hj, mình có một bài lượng giác muốn nhờ các bạn giải giúp?
đề bài là:
2cos3x + cos2x + sinx = 0

cô giáo có hướng dẫn t là dùg công thức tách gốc
cos3x = cos(2x+x)


Èo, bài nãy có đúng đề ko vậy bạn.......ngâm cứu hôm qua tới h mà loạn não quá......haizzzzzz.........phải cố thêm thôi.........:87::87::87:

[magic]

Giải nè............:21::21::21:

http://img.photo.zing.vn/file_uploads/gallery/w642h/2010/03/23/12/55221269321576.jpg

Giải (1), ta có:

http://img.photo.zing.vn/file_uploads/gallery/w642h/2010/03/23/12/93451269321577.jpg

Giải (2):

Đặt:

http://img.photo.zing.vn/file_uploads/gallery/w642h/2010/03/23/12/49031269322308.jpg

Dễ thấy : t=1
=> sinx=1......
Suy ra nghiệm của pt (2).
Kết luận nghiệm.....
(Hic.... cái này chưa được kiểm định đâu à nha...., nhưng có khả năng là đề sai rất cao..:28::28:)

[…Ñø.1…]

éc nhỳn mấy cái này chóng mặt quá àk....................................

[cry]

coa' ban. nao` giai? dum` minh` bai` nay` voi'
tanx+tan2x=-sin3xcos2x
thank cac' ban truoc' nha
:80::91::91::91::16:

[lunxinhvy]

giup minh bai ne voi mac w­a ah hhi: sin^6x + cos^6x = 2( sin^8x + cos^8x ):78:

[lunxinhvy]

lam on di ma hic hic minh mac ­a mai minh phai nop bai oy ne:78::36:
sin^6x + cos^6x = 2( sin^8x + cos^8x ) thanks nhieu nha!

[lunxinhvy]

ne minh cung gop vui 1 bai giai thu nhe
sin^6x+cos^6x = 2( sin^8x + cos^8x )
thanks nhé!

[5Ròm]

:78:ne minh cung gop vui 1 bai giai thu nhe
sin^6x+cos^6x = 2( sin^8x + cos^8x )
thanks nhé!

sin^6x+cos^6x=2( sin^8x + cos^8x )
(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x)=2[ (sin^4x+cos^4x)^2 - 2sin^4x.cos^4x]
1-3 sin^2x.cos^2x = 2[ (1- 2sin^2x cos^2x)^2- 2sin^4x.cos^4x]
4 sin^4x.cos^4x-5 sin^2x.cos^2x +1=0
sin^2x.cos^2x=1 hoặc sin^2x.cos^2x=1/4
Bạn hạ bậc về cos2x hoặc lấy căn và đưa về sin2x rồi giải ( sin^2x.cos^2x=1 (loại) )

[ahq1993]

giải hộ mìh bài này với.hix
2sin^2x + sin7x - 1 = sinx

[binz]

chài nhìn lằng nhằng quá.............................................. ...................................

[teobachco]

bội 3 của cái trên có sai không thía:53:..................................

[dangphong]

:sleep1 giả giúp mình bài này với (1+2cos3x)sinx+sin2x=2sin^2(2x+ii/4)
cám ơn trước nha

[5Ròm]

:sleep1giai giup mjnh bai nay voi (1+2cos3x)sinx+sin2x=2sin^2(2x+ii/4)
cam on truoc nha


<=> sinx+2sinx.cos3x+sin2x=1-cos(4x+ii/2)
<=> sinx+sin4x-sin2x+sin2x=1-sin4x
<=> sinx = 1
<=> x=ii/2+k2ii (k thuoc Z)

Không biết đúng ko, bạn kiểm tra lại dùm :78:

[choxu2060]

mình có bài toán này nè...nhờ các bạn ngâm cú giùm nha!! :80:
cos2x-√3sin2x-√3cosx +sinx-4=0

[5Ròm]

mình có bài toán này nè...nhờ các bạn ngâm cú giùm nha!! :80:
cos2x-√3sin2x-√3cosx +sinx-4=0

cos2x-√3sin2x-√3cosx +sinx-4=0
<=> 1/2 cos2x - √3 / 2 sin2x - √3 / 2 cosx + 1/2 sinx-2=0
<=> cos ( 2x + pi/3) - cos( x + pi/6) - 2 = 0
<=> 2 cos^2( x + pi/6) - cos( x + pi/6) - 3 = 0
<=>cos( x + pi/6) = - 1 (nhan) va cos( x + pi/6) = 1,5 ( loại)
Bạn giải tiếp nha :21:

[cobebanvang]

giải hộ mìh bài này với.hix
2sin^2x + sin7x - 1 = sinx
<=> 1 - 2sin^2x = sin7x - sinx
<=> 1 - 2*1/2*(1 - cos4x) = 2cos4xsin3x
<=> cos4x = 2cos4xsin3x
<=> cos4x = 0 hoặc 1 - 2sin3x = 0
----> Bạn tự giải tiếp nha!

[choxu2060]

hehe!! hôm nay mình lại có 1 bài nữa rùi nè...các bạn xem giùm mình...:11:
2Cos^3 (x-pi/4)-sin2x+ sin(x+pi/4)-2=0

[dknil]

Đặt hàng đắt quá!Ma vô làm cho mấy bạn ý ka`=))...........................

[5Ròm]

hehe!! hôm nay mình lại có 1 bài nữa rùi nè...các bạn xem giùm mình...:11:
2Cos^3 (x-pi/4)-sin2x+ sin(x+pi/4)-2=0

<=>2sin^3(x+pi/4) + sin(x+pi/4) - (sin2x + 2)=0
<=>sin(x+pi/4) ( 2 sin^2(x+pi/4) + 1) - (sin2x+2) = 0
<=>sin(x+pi/4) ( 2 - cos(2x + pi/2) ) - (sin2x+2) = 0
<=>sin(x+pi/4) ( 2 + sin(2x)) - (sin2x+2) = 0
<=>( sin(x+pi/4) - 1) ( 2 + sin(2x) = 0
<=> sin(x+pi/4) = 1
Còn lại bạn tiếp tục nha, mà ko biết có đúng ko nữa :8:

[cobebanvang]

hehe!! hôm nay mình lại có 1 bài nữa rùi nè...các bạn xem giùm mình...:11:
2Cos^3 (x-pi/4)-sin2x+ sin(x+pi/4)-2=0
2Cos^3 (x-pi/4)-sin2x+ sin(x+pi/4)-2=0
<=> 2[cosxcos(pi/4) + sinxsin(pi/4)]^3 - (1+ sin2x) + sinxcos(pi/4) + cosxcos(pi/4) - 1 = 0
<=> 2[cosx(1/căn2) + sinx(1/căn2)]^3 - (1+ sin2x) + sinx(1/căn2) + cosx(1/căn2) - 1 = 0
<=> (1/căn2)(cosx + sinx)^3 - (sinx + cosx)^2 + (1/căn2)(sinx + cosx) - 1 = 0
<=> sinx + cosx = căn 2 <=> x = ...

[Luca Pandama]

Đã dzui thì dzui cho đã,mình có 1 bai muốn tham khảo mấy bậc tiền bối:
cos3x+cos2x-cosx-1=0
Đa tạ và xin nhận kết quả từ các ngài
See you againhttp://img.photo.zing.vn/file_uploads/gallery/1024x768/2011/01/23/06/31921295780535.jpg

[5Ròm]

Đã dzui thì dzui cho đã,mình có 1 bai muốn tham khảo mấy bậc tiền bối:
cos3x+cos2x-cosx-1=0
Đa tạ và xin nhận kết quả từ các ngài
See you again

cos3x+cos2x-cosx-1=0
<=>4 cos^3(x) + 2 cos^2(x) - 4 cos(x) - 2 = 0
<=>(cos(x) - 1) (4 cos^2(x) + 6 cos(x) + 2) = 0
<=> cos(x) = 1 hoặc cos(x) = -1 hoặc cos(x) = -1/2
.....

[Tamy]

giẢi dÙm mÌn bÀi nÀy vs:
vỚi mỌi tAm giÁc ABC tA đỀu cÓ:
tanA/2.tanB/2+tanB/2.tanC/2+tanC/2.tanA/2=1
tks vẻy nhju`

[rip_a2k69]

tanA/2.tanB/2+tanB/2.tanC/2+tanC/2.tanA/2=1 (1)
<=> (sinA/2.sinB/2.cosC/2 + sinB/2.sinC/2.cosA/2 + sinA/2.sinC/2.cosB/2)/(cosA/2.cosB/2.cosC/2) = 1
Tử
= {sinB/2.[sin(A/2-C/2) + sin(A/2+C/2)] + sinB/2.[sin(C/2-A/2) + sin(C/2+A/2)] + cosB/2.[cos(A/2-C/2) - cos(A/2+C/2)]} (2)
Vì A B C là các góc trong một tam giác => sin(A/2+C/2) = cosB/2; cos(A/2+C/2) = sinB/2
=> (2) <=> [sinB/2.sin(A/2-C/2) + sinB/2.cosB/2 + sinB/2.sin(C/2-A/2) + sinB/2.cosB/2 + cosB/2.cos(A/2-C/2) - sinB/2.cosB/2]/2
vì sinB/2.sin(C/2-A/2) = -sinB/2.sin(A/2-C/2)
nên
(3) <=> [cosB/2.cos(A/2-C/2) + sinB/2.cosB/2]/2
= cosB/2[cos(A/2-C/2) + sinB/2]/2
= cosB/2[cos(A/2-C/2) + cos(A/2+C/2)]/2 = cosA/2.cosB/2.cosC/2 = Mẫu
=> (1) = 1